Vectores

Vectores

Un segmento de recta queda determinado por sus dos puntos extremos. Cuando estos puntos est an dados en un cierto orden, se dice que el segmento es orientado.

Definición : Se llama vector a todo segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. La recta que contiene el vector determina la dirección del mismo y la orientaci on sobre la recta, de finida por el origen y el extremo del vector, determina el sentido de este ultimo. Todos los vectores situados sobre una misma recta o rectas paralelas tienen la misma dirección. Sobre cada recta hay dos sentidos opuestos. Toda magnitud vectorial puede representarse por un vector, cuya longitud sea proporcional a la intensidad y cuya dirección y sentido sean los correspondientes a la magnitud.

Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano  o en el espacio .

Componentes de un vector

Componentes del vector.

Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores a_x, a_y, a_z, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

Magnitudes Vectoriales

Magnitudes escalares y vectoriales.

Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo numero real: su medida. Por ejemplo: La longitud de una varilla, o la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Tales magnitudes se llaman escalares, y pueden ser representadas por segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al numero real que indica su medida. Otros ejemplos de escalares son: la densidad, el volumen, el trabajo, la potencia.

Para otras magnitudes, en cambio, no basta dar un numero para determinarlas. Para la velocidad de un punto, por ejemplo, no basta conocer su intensidad, sino que hace falta conocer, ademas, la direccion y el sentido en que el punto se mueve. La dirección  viene dada por una recta, de manera tal que todas las rectas paralelas tienen la misma dirección, y en cambio rectas no paralelas tienen direcciones diferentes.

Cada dirección tiene dos sentidos, determinados por las dos orientaciones posibles de la recta. Lo mismo que con las velocidades ocurre con las fuerzas: su efecto depende no s olo de la intensidad, sino tambien de la dirección  y sentido en que actuan. Estas magnitudes en las cuales hay que distinguir su intensidad 

(que es una magnitud escalar), su dirección y su sentido, se llaman magnitudes vectoriales. Otros ejemplos son: la aceleración, la cantidad de movimiento, la intensidad de un campo electrico o de un campo magn etico. Las magnitudes vectoriales ya no se pueden representar, como los escalares, por segmentos tomados sobre una misma recta. Hay que tomar segmentos de longitud variable (indicadora de la intensidad) a partir de un punto jo, los cuales tengan la dirección y el sentido correspondientes. 

Resumiendo y precisando, podemos establecer las siguientes definiciones:

Definicion 1: Se dice que una magnitud es un escalar cuando el conjunto de sus valores se puede poner en correspondencia biuní voca y continua con el conjunto de los números reales o una parte del mismo.

Definicion 2: Una magnitud se llama vectorial cuando el conjunto de sus valores puede ponerse en correspondencia biunívoca y continua con el conjunto de los segmentos orientados que parten de un mismo origen, o con una parte del mismo

Textos digitales de Vectores en R2 y R3

Vectores en 2 dimensiones

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